17. ročník, 1. série:
Putování lorda Edwarda - řešení

1. Úloha:

Když se rozkřiklo, že Edward potřebuje námořníky, přihlásilo se jich jen o něco méně než 1 500. Dvě devítiny tvořili důstojníci, dvě pětiny lodníci, sedminu kuchaři a zbytek byli plavčíci. Přijata z nich byla čtyřicetina důstojníků, osmina lodníků a devítina kuchařů. Zbytek, který tvořila třetina všech přijatých, byli plavčíci. Kolik mužů Edward přijal?

2/9 důstojníků, 2/5 lodníků, 1/7 kuchařů a zbytek plavčíci.

Zjistíme, kolik se přihlásilo námořníků: najdeme společného jmenovatele zlomků 2/9, 2/5 a 1/7, tj. 5*7*9=315 a určíme jeho největší násobek menší než 1500, tj. 1260. Přihlásilo se tedy 1260 námořníků. Z nich bylo 280 důstojníků (2/9*1260), 504 lodníků (2/5*1260), 180 kuchařů (1/7*1260) a 296 plavčíků (1260-280-504-180).

Přijato bylo 7 důstojníků (280*1/40), 63 lodníků (504*1/4), 20 kuchařů (180*1/9) a 45 plavčíků ((7+63+20)/2).

Celkem bylo přijato 135 mužů.

2. Úloha:

Philip byl právě odsouzen na 12 měsíců a splácení dluhu mu bylo vyměřeno tak, že každý měsíc měl zaplatit polovinu ze zbytku dluhu a 1 libru. Edward chtěl zaplatit celou částku najednou a tím Philipa vykoupit. Soudce však dal za prominutí trestu podmínku, že Edward musí zaplatit takovou částku, která odpovídá stejnému způsobu splácení jen s tím rozdílem, že místo 1 libry navíc zaplatí každý měsíc 2 libry. O kolik liber celkem zaplatil Edward víc oproti skutečnému Philipovu dluhu?

Zde si stačilo uvědomit, co je původní dluh. Původní dluh je částka, kterou dlužil Philip. Tato částka se během soudního procesu neměnila. Z tohoto důvodu se měnila jenom přidaná část, což bylo původně 12*1=12 liber po vykoupení 12*2=24 liber. Proto proti původnímu dluhu zaplatil 24 liber.

3. Úloha:

Ve skladu už byla téměř tma a nápisy na bednách nebyly vidět. Námořníci věděli jen, že ve skladu je 60 beden, z toho v 16 bednách je sušené maso, v 7 bednách ryby, v 17 bednách brambory, v 11 bednách jablka a v 9 bednách mouka. Měli odnést více beden s masem než s rybami a více beden s bramborami než s jablky. Také chtěli, aby počet beden se sušeným masem nebo bramborami byl aspoň takový jako počet beden s ostatními potravinami. Kolik beden museli námořníci odnést, aby splnili svůj úkol?

Splnění 1. podmínky (mají vzít více masa než ryb):

7 (ryby) + 17 (brambory) + 11 (jablka) + 9 (mouka) = 44 a pro splnění podmínky ještě potřeba 8 beden masa, celkově 52 beden.

Splnění 2. podmínky (mají vzít více brambor než jablek):

7 (ryby) + 16 (maso) + 11 (jablka) + 9 (mouka) = 43 a pro splnění podmínky ještě potřeba 12 beden brambor, celkově 55 beden.

Splnění 3. podmínky (mají vzít více či stejně brambor a masa než ostatních potravin):

7 (ryby) + 11 (jablka) + 9 (mouka) = 27 a pro splnění je potřeba alespoň 27 beden masa nebo brambor, celkově 54 beden.

Pro splnění všech podmínek je potřeba vzít 55 beden.

4. Úloha:

Bedny byly krychlové s délkou hrany 1 m. K dispozici byly jen plachty o rozměrech 3 m x 3 m. Bylo možné zabalit bedny do plachet bez jejich nastavování?

Pokud se bedna položí úhlopříčně doprostřed plachty, lze bednu bez nastavování zabalit.

Platí (a ... délka hrany bedny, b ... délka strany plachty):

a

Bednu lze zabalit do plachty bez nastavování, neboť

5. Úloha:

Na šachovnici o rozměrech 4 x 8 polí stál kůň. Bylo třeba s ním uskutečnit 32 tahů tak, aby se posledním tahem vrátil tam, kde začal. Nikomu z posádky se to na první pokus nepodařilo. Bylo vůbec možné splnit tento úkol?

Jelikož v zadání není stanoveno, že kůň nesmí na žádné pole stoupnout dvakrát, ani že musí projít všemi poli, může nastat několik případů řešení:

• dokola jeden tah tam a zase zpět, tedy návrat 2. tahem
• návrat 4. tahem
• návrat 8. tahem
• návrat 16. tahem

Úloha nemá spojitost s počtem polí, ani se sudostí počtu polí.

V zadání jsme se ale dopustili chyby, úloha byla totiž zamýšlena tak, že má kůň projít všemi poli. Zkuste si tedy vyřešit tuto složitější variantu.

6. Úloha:

Na vyspravení potrhané plachty bylo třeba beze zbytku rozřezat jinou plachtu na nejvýše osm záplat. Náhradní plachta byla čtvercová a všechny záplaty měly mít tvar ostroúhlých trojúhelníků. Jak se tedy musela náhradní plachta rozřezat?

A, B, C, D ... vrcholy čtverce, E ... střed AB, F ... střed CD. Sestrojíme úsečky AF a BF, úsečku k₁ kolmou na AF procházející bodem D, úsečku k₂ kolmou na BF procházející bodem C, k₁ ∩ AF=G, k₂ ∩ BF = H, spojíme body G a H spolu a s bodem E. Dostaneme pravoúhlé trojúhelníky.

Aby vznikly ostroúhlé trojúhelníky, musíme G a H posunout směrem k úsečce EF, ale ne až na úsečku EF, tam vzniknou body I a J. Máme osm ostroúhlých trojúhelníků: ADI, AEI, EIJ, EBJ, BCJ, CFJ, FIJ, FDI.