17. ročník

17. ročník, 2. série:
Putování lorda Edwarda - řešení

1. Úloha (podle Aleny Geršlové)

V rovnici a2 - 2ad = 1628 byl azimut a, pod kterým bylo třeba se vydat, a počet mil d, který udával, jak daleko se poklad nacházel. Obě hodnoty byly uvedeny celými čísly. Pod jakým azimutem a jak daleko měl Edward se svými společníky jít?

Hledáme nejmenší druhou odmocninu od 1628, 1628 = 40,348482, ale v příkladu máme a2 - 2ad = 1628, proto musí být a ≥ 42, dále a musí být sudé číslo, neboť nám vychází po odečtení sudé číslo, a to jde jen tehdy, je-li a sudé. Po zkoušení čísel větších než 42 jsme dostali číslo 74. 742 = 5476, 2ad = 5476 - 1628 = 3848, ad = 3848 : 2 = 1924, d = 1924 : 74 = 26. 742 - 2 * 74 * 26 = 5476 - 3848 = 1628. Vydali se pod azimutem 74° a měli ujít 26 mil.

2. Úloha (podle Václava Navrátila)

První domorodec ještě dodal, že ten druhý vždy lže. Druhý zase řekl, že třetí vždy lže. A třetí tvrdil, že první i druhý vždy lžou. Mohli námořníci některému z domorodců věřit?

Pokud každý domorodec řekl jinou cestu, pak nelhal nejvýše jeden (možná lhali všichni tři). Řešení se nám rozpadne na 3 možnosti:

  1. Pokud nelhal 1. domorodec, druhý i třetí by museli lhát, v tomto případě by druhý nemohl tvrdit, že třetí vždy lže.
  2. Pokud nelhal 2. domorodec, první i třetí by museli lhát. Což zadání odpovídá.
  3. Pokud nelhal 3. domorodec, první i druhý by museli lhát. V tom případě by první nelhal, že druhý lže.

Námořníci mohli věřit pouze 2. námořníkovi.

3. Úloha (podle Hany Pultarové)

Na mapě stálo: „Jsi na místě pokladu. Jdi od dubu D ke zřícenému majáku M. Stejnou vzdálenost odtud ujdi směrem doprava v pravém úhlu a místo, do něhož dojdeš, označ R. Pak jdi od dubu k prameni P, odtud ujdi vlevo v pravém úhlu stejnou vzdálenost do bodu, který označ S. Poklad leží ve středu spojnice RS.” Námořníci našli maják i pramen, ale dub zmizel. Jak mohl Edward poklad najít i přesto, že nevěděl, kde dřív stál dub?

Ukážeme, že poloha pokladu nezávisí na poloze dubu.

Nechť D a jsou dvě různé možné polohy dubu.

Trojúhelník MR´R je shodný s trojúhelníkem MD´D, neboť jeden z druhého se získá otočením o 90o. Proto je RR´ kolmé na DD´. Stejně tak jsou shodné trojúhelníky D´PD a PSS´ a je SS´ kolmé na DD´. Protože jsou úsečky RR´ a S´S rovnoběžné a je |RR'| = |S'S|, je RS´SR´ rovnoběžník. V rovnoběžníku se úhlopříčky půlí a tam se nachází poklad.

4. Úloha

Námořníci zatloukli kolíky do zvolených bodů A a B. Jak mohli jen s pomocí lana a kolíků najít body C a D tak, aby vznikl čtverec ABCD?

Opíšeme kružnici kolem bodu B a na ní sestrojíme body E, F, G tak, jako se sestrojují vrcholy pravidelného šestiúhelníku.

Je-li |AB| = a, je EI výška v rovnostranném trojúhelníku ABE, a tudíž |EF| = 2 * |EI| = a√3. Dále sestrojíme bod H jako průsečík kružnic se středy A a G a poloměry a√3. Potom |BH| = a√2, což je úhlopříčka čtverce ABCD. Bod D tedy sestrojíme jako průsečík kružnice se středem A a poloměrem a a kružnice se středem B a poloměrem a√2. Konstrukce bodu C je již zřejmá.

5. Úloha (podle Hany Pultarové)

Klíč měl být ve vzdálenosti tolika stop, kolik dělal ciferný součet čísla, které začínalo jedničkou a po přemístění poslední cifry na začátek vzniklo číslo dvakrát větší než původní hledané číslo. Jaké číslo musel Edward určit?

Máme sečíst dvě stejná čísla začínající jedničkou, takže jejich součet bude mít na začátku buď číslo 2 nebo 3. Proto na konci původního čísla muže být:

  • číslo 2 a postupným sčítáním najdeme řešení
  • číslo 3

Oba výsledky mají ciferný součet 81, klíč je ve vzdálenosti 81 stop.

6. Úloha

Jak si měli čtyři veslaři v noci rozdělit poklad tak, aby se nikdo z nich necítil ošizen?

K tomu, aby se 4 lidé rozdělili spravedlivě, tak každý z nich musí mít pocit, že je to spravedlivé. Nejprve jeden rozdělí poklad na dva díly, tak aby si myslel, že jsou stejné – pak přijde druhý a vybere si tu polovinu, která je pro něj výhodnější. Tito 2 lidé pak rozdělí své části na třetiny tak, aby si mysleli, že jsou stejné - pak přijde třetí a vybere si od každého z nich jednu část, a to tu, která je pro něj výhodnější. Tito tři lidé pak rozdělí svoje díly na čtvrtiny - pak přijde čtvrtý člověk a vybere si od každého jeden díl. Po tomto rozdělování jsou všichni spokojeni, neboť si vždy vybírali podle svého a tudíž musí být spokojeni.

Podporujeme:

Pikomat na TOPlistu