17. ročník, 3. série:
Putování lorda Edwarda - řešení

1. Úloha (podle Lucie Řeřichové)

Klíče měli kromě Edwarda dostat ještě Philip, doktor Dickens a první důstojník Malvin. Edward si přál, aby žádní dva vlastníci klíčů nemohli společně trezor otevřít, ale aby libovolní tři to učinit mohli. Kolik muselo být na trezoru zámků a jak se měly od nich rozdat klíče?

Trezor má 6 zámků, klíče měli: Edward (E), Philip (P), Dickens (D), Malvin (M). Rozdělení klíčů (čísla klíčů určena podle čísel zámků): E-1,2,3, P-1,2,5, D-4,5,6, M-2,3,4. Touto kombinací nemohli žádní 2 společně trezor otevřít: E+P=1,2,3,5,6, (chybí 4), E+D=1,3,4,5,6, (chybí 2), E+M=1,2,3,4,6, (chybí 5), P+D=1,2,4,5,6, (chybí 3), P+M=1,2,3,4,5, (chybí 6), D+M=2,3,4,5,6, (chybí 1). Libovolní 3 otevřít trezor mohli: E+P+D=1,2,3,4,5,6, P+D+M=1,2,3,4,5,6, E+P+M=1,2,3,4,5,6, E+M+D=1,2,3,4,5,6.

2. Úloha (podle Hany Pultarové)

Do finále se dostali Andrew, Steve a Bill a ti se měli utkat v několika disciplínách. V každé disciplíně získal vítěz a bodů, druhý b bodů a třetí c bodů, kde a > b > c ≥ 1. Andrew získal celkově 22 bodů, Steve a Bill získali shodně 9 bodů. Bill vyhrál šplh po laně. Který z finalistů byl druhý ve skoku z místa?

Andrew, Steve a Bill získali celkem 22+9+9=40 bodů. V každé disciplíně se rozdalo alespoň 6 bodů, a proto by disciplín mohlo být nejvíce 6, ale to nebylo, protože 40 není dělitelné 6-ti. Disciplín mohlo být 5, 4 nebo 2. Kdyby byly disciplíny 2, v každé disciplíně by se za 1. místo dalo maximálně 8 bodů, protože Bill vyhrál šplh na laně a 2. disciplínu by musel vyhrát Andrew, ale ani to by nestačilo k zisku 22 bodů. Disciplíny tedy nebyly 2. Kdyby byly 4 disciplíny, v každé by se rozdalo 10 bodů, a to ze způsobů uvedených v tabulce.

Pro 4 disciplíny	1.	2.	3.
1. možnost	5b	4b	1b
2. možnost	6b	3b	1b
3. možnost	7b	2b	1b
4. možnost	5b	3b	2b

Kdyby se body rozdělily prvním způsobem, Andrew by nemohl získat 22 bodů, ale jen 5×3+4=19. Takto to nelze. Pokud by se rozdělovalo 2. způsobem, Andrew by nemohl získat 22 bodů, ale jen 6×3+3=21. Takto to nelze. Pokud by se rozdělovaly 3. způsobem, Bill by získal 7 bodů v 1.disciplíně, ale nemohl by získat 2 body ve třech zbývajících disciplínách. Takto to nelze. Kdyby se body rozdělily 4. způsobem, Andrew by nemohl získat 22 bodů, ale jen 5×3+3=18. Takto to nelze. Disciplín tedy bylo 5. Kdyby bylo 5 disciplín, v každé by se rozdalo 8 bodů, a to ze způsobů uvedených v druhé tabulce.

Pro 5 disciplín	1.	2.	3.
1. možnost	5b	2b	1b
2. možnost	4b	3b	1b

Kdyby se body rozdělily 1. způsobem, Andrew by mohl získat 22 bodů (5×4+2=22), Bill by mohl získat 9 bodů (4×1+5=9) a Steve také (4×2+1=9). Z toho vyplývá, že Andrew byl čtyřikrát první a jednou druhý, Bill jednou první a čtyřikrát třetí a Steve jednou třetí a čtyřikrát druhý.
Druhý ve skoku z místa byl Steve, protože nikdo jiný nebyl 2. v jiné disciplíně, než je šplh na laně.

3. Úloha (podle Lucie Slavníkové)

a) Každá strana pětiúhelníkového čísla se u desátého čísla skládá z deseti kamínků. Vnitřek je vyplněn tak, že „stříška se plní: 1. kamínek od rohu = jeden v přímce, 2. kamínek od rohu = dva v přímce a tak dále až do desítky, poté je již v přímce jen 10 kamínků. Z toho vychází, že bylo složeno ze 145 kamínků.

b) Ano, ze 2 pětiúhelníkových čísel se dá sestavit číslo další, ale jen v některém případě. Počet kamínků v prvních 10 číslech je: 1,5,12,22,35,51,70,92,117,145. Když vezmeme 4. číslo (22 kamínků) a 7. číslo (70 kamínků), můžeme složit 8. číslo s 92 kamínky.

4. Úloha (podle Hany Pultarové)

Pravé mince vážily 10g, kdežto falešné jen 9,8g. Edward chtěl mince rozlišit, ale měl k dispozici jen rovnoramenné váhy bez závaží. Jakým nejmenším počtem vážení mohl rozlišit 7 mincí, o nichž věděl, že z nich bylo 5 pravých a 2 falešné?

Rozdělíme si mince na 2 hromádky po třech mincích a sedmou minci dáme stranou. Hromádky po třech mincích dáme proti sobě na váhu. Mohou nastat tyto případy:

1. Pokud obě hromádky budou mít stejnou hmotnost, vyplývá z toho, že v každé hromádce je jedna falešná mince. Vezmeme jednu hromádku, dáme si jednu minci stranou, a zbývající dvě zvážíme proti sobě na váze. Pokud se budou mince rovnat váhou, je jasné, že mince, kterou jsme si nechali stranou, je nepravá. Pokud ovšem bude jedna z mincí lehčí, je jasné, že tato mince je nepravá. Stejně pokračujeme i s druhou hromádkou. Kdyby nastala tato situace, mohli bychom rozlišit nepravé mince nejméně na 3 vážení.
2. Pokud bude jedna hromádka lehčí, budou falešné mince buď obě v této hromádce, nebo tam bude pouze jedna a druhá falešná mince bude ta, kterou jsme si na začátku dali stranou. Vezmeme si tedy tyto čtyři mince a vybereme z nich 2 mince, které zvážíme. Pokud se tyto mince budou rovnat, vybereme z nich jednu a zvážíme ji s jednou ze 2 mincí, které nám zbývají. Pokud bude mince, kterou jsme předtím vážili, lehčí, znamená to, že obě předtím vážené mince jsou falešné. Pokud bude jedna z mincí lehčí, je falešná a totéž se provede u 2. hromádky. Kdyby nastala tato situace, mohli bychom rozlišit nepravé mince nejméně na 3 vážení.

Sedm mincí se dá rozlišit nejméně na 3 vážení.

5. Úloha:

Chytrý námořník počítal součin 95 x 97 takto:
- sečetl čísla (95 + 97 = 192)
- první cifru součtu škrtl, a tím dostal první výsledek (92)
- rozdíly činitelů do 100 vynásobil, a tím dostal druhý výsledek (5 x 3 = 15)
- první a druhý výsledek dal za sebe a vyšlo mu, že 95 x 97 = 9215
Bylo možné tímto způsobem počítat součiny dvou čísel, která ležela mezi 90 a 100?

Sestavíme si rovnici:

Čísla bylo možno násobit tímto způsobem.

6. Úloha:

Za kolik let po návratu z cesty za pirátským pokladem, kdy byl pátek třináctého, se Edward vydá na moře za novým pokladem, bude-li čekat na rok bez pátku třináctého?

Budeme sledovat, ve které dny je třináctý den v měsíci. Začneme březnem, abychom nemuseli počítat s přestupnými a nepřestupnými roky. Vezměme si například, že v březnu je třináctý den pondělí. Tabulka ukazuje, v které dny bude třináctého v dalších měsících.

Březen	Duben	Květen	Červen	Červenec	Srpen	Září	Říjen	Listopad	Prosinec
13	13	13	13	13	13	13	13	13	13
PO	ČT	SO	ÚT	ČT	NE	ST	PÁ	PO	ST

Z tabulky je vidět, že třináctý den v měsíci během března až prosince projde všechny dny v týdnu (pondělí až neděle). Pátek třináctého je tedy každý rok.

Edward se nevypraví za pokladem už nikdy.