18. ročník

18. ročník, 1. série:
Petrovy prázdninové vzpomínky - řešení

1. Úloha

Šlo o šest věcí (dva stany, nářadí na opravy, lékárničku, vařič a hrnec). Kolika způsoby jsme je mohli rozdělit mezi nás čtyři, pokud každý měl vézt alespoň jednu věc?

Úlohu budeme řešit přiřazováním chlapců k věcem. Chlapce označíme čísly 0, 1, 2, 3. Lze snadno určit, kolik je všech možností rozdělení pro případ, kdy nejsou kladeny žádná další omezení. Každé z věcí lze přiřadit 4 chlapce, a proto možností je 46 = 4096. Kdybychom tyto možnosti zapisovali pomocí čísel, byla by to všechna šestimístná čísla složená z číslic 0, 1, 2, 3.

Zadání však klade omezující podmínku, aby každý vezl alespoň jednu věc. Mohou tedy nastat 4 případy toho, kdy jeden z chlapců veze 3 věci, nebo 6 případů, kdy dva chlapci mají 2 věci.

  1. Nejprve určíme počet možností pro případ, kdy jeden veze 3 věci, tj. hledáme šestimístná čísla, ve kterých se vyskytují 4 různé číslice a jedna z nich je obsažena právě třikrát.
    Hledejme např. čísla složená z 1, 2, 3 a třech 0. Čtveřice obsahující tři nuly a jedničku jsou 4. Přidáme-li k těmto čtveřicím pátou číslici (dvojku), získáme 5krát více čísel a přidáním další číslice (trojky) 6krát více čísel. Tedy šestimístných čísel složených z 1, 2, 3 a třech nul je 4 . 5 . 6 = 120.
    Počítali jsme čísla, ve kterých se opakují nuly. Mohli se však opakovat i čísla 1, 2 nebo 3 a proto všech možností, jak lze utvořit šestimístná čísla je 4 . 4 . 5 . 6 = 480.
  2. Zadruhé určíme počet možností pro případ, kdy dva z chlapců vezou 2 věci, tj. hledáme šestimístná čísla, ve kterých se vyskytují 4 různé číslice a dvě z nich jsou obsaženy právě dvakrát.
    Hledejme například čísla složená z dvou 0 a dvou 1, 2 a 3. Čtyřmístná čísla obsahující dvě jedničky a dvě nuly lze utvořit 6 způsoby. Přidáme-li pátou číslici (dvojku), získáme 5krát více čísel a přidáním další číslice (trojky) 6krát více čísel. Tedy šestimístných čísel složených z 0, 0, 1, 1, 2, 3 je 6 . 5 . 6 = 180. Toto je jedno konkrétní řešení pro případ, kdy se opakují čísla 0 a 1. Mohli se však opakovat i jiné dvojice. Kombinací dvojic ze čtyř prvků je 6 a proto možností, jak utvořit šestimístná čísla je 6 . 6 . 5 . 6 = 1080.

Celkem tedy existuje 1560 různých možností rozdělení. Pro názornost uvádíme výčet generovaný počítačem.

2. Úloha

Urči poslední číslici a dvojčíslí čísla 42004.

Úlohu můžeme například řešit tak, že vypíšeme poslední dvojčíslí několika prvních členů posloupnosti 4n ; nÎN: {04, 16, 64, 56, 24, 96, 84, 36, 44, 76, 04, 16...}.

V řádu jednotek se střídají čísla 4 a 6 a platí, že pro liché exponenty končí mocnina čtyřky číslem 4 a pro sudé exponenty číslem 6. Poslední dvojčíslí se opakuje s periodou délky 10.

Poslední číslice hledaného čísla je 6 a dvojčíslí 56.

3. Úloha

To je náhoda – ručičky (hodinová a minutová) se zrovna překrývají. Od 8 h ráno, kdy jsme vyjeli, je to už počtrnácté. Kolik je hodin?

K překrytí ručiček dochází 11krát za 12 h, tj. jednou za

K prvnímu překrytí došlo kolem 8.43 h a ke čtrnáctému asi ve 22.55 h.

4. Úloha

V jaké číselné soustavě platí rovnost 4 . 9 = 26?

Označíme základ neznámé soustavy písmenem z a rovnici přepíšeme:

4z0 . 9z0 = 2z1 + 6z0

Upravíme na tvar 4 .9 = 2z + 6 a vypočítáme z = 15.

Rovnost platí v soustavě o základu patnáct.

5. Úloha

Nakreslete pomocí pravítka bez měřítka rovnoběžku s přímkou bodem, který na dané přímce neleží.

Omlouváme se, ale úloha byla zadána chybně a povolenými nástroji nelze řešit.
Konstrukci lze provést například pomocí pravítka s ryskou, užitím kružítka a pravítka, nebo rovnoběžnítkem (pravítko pro kreslení rovnoběžek). Tyto nástroje však nebyli povoleny a proto úlohu nelze vyřešit.

Správné zadání zní takto: Na přímce (a) jsou dány dva různé body (B, C) a jejich střed (D). Pomocí pravítka sestrojte rovnoběžku (g) bodem (A), který na dané přímce neleží.

Po stažení apletu (cca 1MB) se zobrazí animace vytvořená programem Cinderella.

Please enable Java for an interactive construction (with Cinderella).

6. Úloha

Lucii a Fandovi je dohromady 36 let. Fandovi je dvakrát víc, než bylo Lucce, když byl pětkrát mladší, než je dnes Lucka. Kolik let je Lucii?

Zadané údaje přehledně zaznamenáme do tabulky:

Protože víme, že rozdíl věků obou sourozenců je stálý, sestavíme na základě v tabulce uvedených údajů rovnici

která má řešení x = 20.

Lucii je dnes 20 let.

Podporujeme:

Pikomat na TOPlistu