18. ročník, 2. série:
Petrovy prázdninové vzpomínky - řešení

1. úloha

Na plášti rotačního kužele sedí vrabčák. Kudy vede nejkratší cesta, po které může kužel obejít? (nakresli)

Pro kužel, jehož rozvinutý plášť má u vrcholu úhel menší než 180°, použijeme toto řešení: Plášť kužele rozstřihneme po přímce VC a rozvineme do pláště v podobě kruhové výseče. Nejkratší cesta je na plášti dána dvěma kolmicemi na úsečky VC. Po stočení do kužele vytvoří cesta smyčku podle obrázku.

Pro kužel, jehož rozvinutý plášť nemá u vrcholu úhel menší než 180°, vede nejkratší cesta kolem kužele k vrcholu (na něm se otočí) a zpět.

2. úloha

... na půlměsíci je tečka. Jak najít úsečku, která má zmíněnou tečku uprostřed a krajní body na obvodu půlměsíce?

Tečka na půlměsíci je středem souměrnosti. Zobrazíme tedy středově souměrný půlměsíc. Průnik obvodu původního a zobrazeného půlměsíce jsou body hledané úsečky. Úloha má podle polohy tečky a tvaru půlměsíce jedno, dvě nebo tři řešení.

3. úloha

Jedeme stejnou cestou jako autobus z Vratěnína do Znojma. Autobus z Vratěnína vyjel o 25 min později a předjel nás po 10 min jízdy. V okamžiku, kdy dojel do Znojma, jsme měli ujeto 22 km a zbývalo nám 50 min šlapání. Jaká je vzdálenost obou měst, rychlost naše a rychlost autobusu?

Přehledně je situace uchopena grafikonem pohybu, který úlohu převádí na úlohu geometrickou.

Z podobnosti trojúhelníků ACE, ADF a HGF máme

.

Z podobnosti trojúhelníků BCE a BDG máme

.

Odtud x = 20, y = 14, z = 20.

Vzdálenost obou měst je 42 km, chlapci jedou 105 min a tedy rychlostí 24 km/h, autobus jede 30 min rychlostí 84 km/h.

4. úloha

... Fanda s Michalem vyrazili do cukrárny. V prodejně měli 15 druhů dortíků v cenách od 10 do 40 korun a 15 různých bonboniér v ceně mezi 50 a 100 korunami. Přitom ceny jsou navzájem různé, ale všechny násobky 50 haléřů. Dokažte, že si oba můžou koupit jiný druh dortíku i bonboniéry a přitom utratit za obě položky stejně.

Existuje 15 . 15 = 225 kombinací dortíků a bonboniér. Cena bonboniéry a dortíku se pohybuje od 60 Kč do 140 Kč. Existuje tedy dohromady 161 různých cen bonboniéry a dortíku. Proto musí existovat možnost, kdy si oba chlapci mohou koupit jiný druh dortíku i bonboniéry za stejnou cenu.

5. úloha

Hra pro dva hráče. Na hromádce je 33 zápalek. Každý hráč odebírá 2 nebo 3 zápalky. Vyhrává ten, kdo vezme poslední. Pokud mu tam 1 zbude, je to remíza. Je lepší hru začínat nebo být druhý? Existuje nějaký návod na zaručenou výhru?

Hru je lepší začínat a vzít 3 zápalky. Na hromádce pak zbývá počet dělitelný pěti. Aby si začínající zajistily výhru, má odebírat opačný počet zápalek než soupeř.

6. úloha

Martina: „Myslete si nějaké čtyřciferné číslo. Nyní přemístěte první číslici zleva na konec čísla. Dostanete další čtyřciferné číslo. První číslo sečtěte s nově utvořeným číslem a řekněte mi výsledek.“ – Fanda hlásil 8865, Michal 3464, Tomáš 7964 a já 15401. – „Dobře počítal jen Tomáš, ostatní jste počítali špatně.“ Přezkoušeli jsme výsledky a skutečně. Martina měla pravdu. Jak na to přišla?

Čtyřmístné číslo s číslicemi a, b, c, d je možno psát v tvaru 1000a + 100b + 10c + d a druhé, které vzniklo přemístěním první číslice na konec čísla, jako 1000b + 100c + 10d + a. Součet těchto čísel bude:

Každý sčítanec je dělitelný jedenácti, a proto celé číslo je dělitelné jedenácti.

Z čísel, která Martině nahlásili chlapci, jen číslo 7964 je dělitelné jedenácti. Martina znala znaky dělitelnosti jedenácti, takže bleskově zjistila, kdo počítal správně a kdo nikoli.