19. ročník, 2. série:
Vesmírná odysea

PROČ VLASTNĚ UTÍKÁME?

Když jsme vystoupili z hyperprostoru, vynořil se nám před očima neznámý vesmír. Naštěstí jsme se nenacházeli v žádné hvězdě. Chvíli to trvalo, než Vomis vyhrabal odněkud z počítače naše souřadnice. Nacházeli jsme se v soustavě hvězdy Omikron.

Jak si vzpomínáte, náš odchod ze soustavy planety WU se musel uskutečnit co nejrychleji, protože jsme dostali nemilou společnost. Takže nebylo času na výpočet skoku. Zkrátka jsme se spolehli na geniálního Andyho Kalkulačku a vyšlo to. Ale kolem Omikronu neobíhá žádná obyvatelná planeta. Tak jsme se rozhodli podniknout další, tentokrát plánovaný skok.

Mezihvězdné skoky hyperprostorem se u nás zatím jen testovaly, a tak žádná z vesmírných lodí z naší rodné planety nemá schopnost nás vysledovat. Skoky umíme zatím provádět jen následujícím způsobem: Jestliže do počítače vložíme nejprve souřadnice nějakých dvou hvězd (např. našeho slunce (W) a hvězdy Omikron (O)) a potom ještě souřadnice nějakých jiných tří navzájem různých hvězd, které neleží v jedné přímce (například epsilon (E), theta (T) a kapa (K)), skočíme do místa (X), které tvoří spolu s naším sluncem (W) a danou hvězdou (O) rovnoramenný trojúhelník se stejným obsahem, jako má trojúhelník tvořený trojicí hvězd E, T a K. Jestliže je takových míst více, počítač vybere náhodně jedno z nich.

Vomis je zkušený navigátor, takže pomocí pravítka a kružítka našel na mapě, kde bychom se mohli objevit.

Úloha 7

Na obr. 6 je znázorněná situace na mapě. Najděte místo, kde bychom se mohli objevit, tj. sestrojte rovnoramenný trojúhelník OWX se stejným obsahem, jako má trojúhelník ETK, jestliže je dána jedna jeho strana OW. (Postup řešení se musí nechat použít pro libovolný trojúhelník ETK a libovolně dlouhou úsečku OW.)

Zatímco bude Vomis zadávat do počítače potřebné instrukce, povím vám, proč vlastně utíkáme ze své rodné planety WU. Před mnoha lety byli naši předkové normální lidé, jako všichni obyvatelé planety WU. Žili spokojeně v poušti Wattan, až jednoho dne, jak praví legenda, do pouště spadlo „z nebe“ těleso, které se při dopadu rozpadlo na několik pravidelných čtyřstěnů, které potom zprůsvitněly tak, že jim byly vidět jen hrany, vyletěly nad poušť a vybouchly.

Úloha 8

Vypočítejte, o kolik čtyřstěnů se jedná, jestliže víte, že v každém z nich každá z jeho šesti hran má buď zlatý nebo stříbrný odstín (čtyřstěn může mít i všechny hrany stejné barvy) a žádné dva čtyřstěny nejsou stejné (dva čtyřstěny jsou stejné, jestliže otočením jednoho z nich dostaneme druhý).

Výbuch čtyřstěnů ozářil okolní poušť. Naši předkové byli vystaveni tomuto záření. Vypadalo to neškodně, protože ze začátku se u nich nic zvláštního neprojevilo. Až za několik roků zjistili, že žijí dvoj- až trojnásobně déle, než ostatní obyvatelé planety. Dokonce v naší Kronice se můžeme dočíst, jaký máme „rekord“, tedy jakého největšího věku se dožil jeden z nás – Fajtus, který žil před více než 1 000 lety.

Úloha 9

Jenomže naši předkové dělali zápisy do Kroniky takovým zvláštním způsobem. Abyste se dozvěděli Fajtův věk, musíte v zápisu TJAF × W = FAJT nahradit stejná písmena stejnými číslicemi a různá písmena různými číslicemi, aby platila rovnost. Jeho věk se dozvíte, jestliže tyto číslice dosadíte do výrazu FAJT : TW + JAF a vypočítáte jeho hodnotu.

Zpočátku se naše dlouhověkost samozřejmě tajila, nevěděl to nikdo, kdo nebyl členem našich rodin. Ale později si stále víc z nás začínalo myslet, že by to ostatní lidé mohli pochopit, že bychom jim mohli být užiteční, že bychom nemuseli před nimi žít v přetvářce...

Tak se v našich řadách začínalo uvažovat o odtajnění. Dostalo se to až před Shromáždění rodin. Tam se mělo všechno prodebatovat.

Úloha 10

Shromáždění má 45 členů, z nichž každý patří do jedné ze čtyř největších rodin: Johnsonů, Gregoryů, Russelů a Terryů. První hlasování dopadlo nerozhodně, protože z přítomných hlasoval pro každou možnost stejný počet osob, dokonce se stejný počet osob zdržel hlasování. Pro úplné odtajnění hlasovali všichni Gregoryové kromě dvou, kteří společně se všemi Johnsony chtěli nadále pokračovat v utajování. Jedině polovina ze všech Russelů byla pro částečné odtajnění. Hlasování se zdržel takový počet osob, jako je dvojnásobek počtu Terryů. Zbytek se zasedání Shromáždění nezúčastnil. Zjistěte, kolik měla každá rodina zástupců ve Shromáždění.

Takže se jednání přesunulo na další den, kdy už byli přítomni všichni členové Shromáždění. Tentokrát byli všichni Gregoryové pro úplné odtajnění, Russelové a Terryové pro částečné odtajnění a Johnsonové jako jediní byli proti. A tak se začalo s odtajňováním. Jaká to byla ale chyba! Když se o tom dozvěděla Velká rada naší planety, začal na příslušníky našich rodin doslova hon. Záviděli nám náš dlouhý život a nechtěli pochopit, že je nechceme nijak ohrožovat, ani vytlačit z této planety, a tak nás začali pronásledovat. Určitě vám nemusím popisovat, co se stalo s těmi, které se jim podařilo dostat. Jak mi určitě dáte i vy za pravdu, naší jedinou šancí byl útěk a časem nalezení nějaké jiné pro život vhodné planety.

Nejprve bylo třeba sehnat nějakou dostatečně velkou loď, která by nás vynesla na oběžnou dráhu k XY – jediné vesmírné lodi, která by nás všechny mohla pohodlně přepravovat po známém i neznámém vesmíru, a tak nám pomoci při pátrání po novém domově. Narychlo jsme získali, tedy vlastně kapitán Mertan získal, nákladní loď BXWII7. Je to sice už starší typ, ale snad jediný, kam jsme měli šanci všichni se vejít, i když s problémy.

Do stanoveného data jsme se dostavili na dohodnuté místo – do jeskynního úkrytu v poušti Wattan, odkud jsme měli dále pokračovat společně. Kdo se nedostavil, musel zůstat na WU.

Podařilo se nám sehnat tři motobily, kterými jsme se mohli dopravit k nákladní lodi. Každý z motobilů měl nádrž s jiným objemem. Objem se zde měří v obejích (značku má o). Zjistili jsme, že nádrž motobilu TWA má objem 7o a je v ní 6o pohonné hmoty hnacínu a nádrže motobilů TWB o objemu 4o a TWC o objemu 3o jsou prázdné. Na to, abychom se mohli dostat k lodi BXWII7, musel mít každý motobil aspoň 2o hnacínu v nádrži. Jelikož jsme jiné nádoby neměli, odmontovali jsme nádrže a snažili se přelévat hnacín tak, aby v každé nádrži ho bylo 2o. Dlouho se nám to nedařilo. Pak ale naštěstí někdo přinesl ještě 1o hnacínu a začali jsme znovu, tj. všech 7o hnacínu jsme nalili do nádrže motobilu TWA a přelévali ho, dokud nám nezůstalo v jedné z nich 3o a ve zbylých dvou po 2o hnacínu. Dokážete to i vy?

Úloha 11

Máme tři nádrže o objemech 7o, 4o a 3o. V první z nich je 7o hnacínu a zbylé dvě nádrže jsou prázdné. Jak je třeba přelévat hnacín v nádržích na co nejmenší počet přelévání, aby na konci bylo v jedné nádrži 3o a v ostatních po 2o hnacínu (nezáleží na tom, ve které nádrži budou 2o a ve které 3o hnacínu)? Jaký je nejmenší počet přelévání? A proč nejde rozlít 6o hnacínu z největší nádrže tak, aby ho na konci bylo v každé nádrži po 2o?

Když už byl hnacín v nádržích, stačilo je jen znovu namontovat do motobilů... A hurá na cestu za svobodou!

Úloha 12

Všechny tři motobily odletěly od úkrytu současně, ale každý letěl jinou rychlostí. Motobil TWA uletěl za hodinu šest pětin vzdálenosti, kterou uletěl motobil TWB, a o 18λ více než motobil TWC. Nikde se nezastavovaly a letěly bez přestávky k lodi. Přitom motobil TWB přiletěl o 12 minut později než ten, který přiletěl k nákladní lodi jako prvý, a o 3 minuty dříve než ten zbývající. Jaké rychlosti měly jednotlivé motobily a jak daleko byl náš úkryt od nákladní lodi?

Rychle jsme se přemístili do přístavní lodi a co se dělo potom, už víte. Náš plán se vydařil, tedy aspoň první část – podařilo se nám dostat na XY a uletět naším pronásledovatelům. Nyní se pokusíme splnit tu druhou, časově náročnější část plánu – najít si nový domov. Tak nám držte palce!

Řešení

Řešení si můžete prohlédnout po otevření souboru: 192r.pdf (114 kB; pro prohlížení použijte např. Acrobat Reader)