20. ročník, 1. série:
Jubilejní ročník

Úloha 1

Na šachovnici 7 x 7 polí stojí jezdec (kůň). Je možné s ním uskutečnit 49 tahů tak, aby prošel všechna pole šachovnice a vrátil se posledním tahem tam, kde začal?

Úloha 2

V rovině je dáno třináct bodů P₁, P₂, …, P₁₃, které jsou spojeny úsečkami P₁P₂, P₂P₃, …, P₁₂P₁₃, P₁₃P₁. Je možné sestrojit přímku, která by protínala každou z těchto úseček ve vnitřním bodě?

Úloha 3

Stěny krychle můžeme obarvit buď červenou nebo bílou barvou. Kolik takto různě obarvených krychlí existuje?

Úloha 4

a) Existuje těleso, jehož sítí je rovnostranný trojúhelník?
b) Existuje těleso, jehož sítí je čtverec?

Úloha 5

Nechť a je libovolné přirozené číslo. Dokažte, že rovnice x² - y² = a³ má vždy celočíselné řešení x a y.

Úloha 6

Do pravoúhlého lichoběžníku je vepsána kružnice, která rozděluje šikmé rameno bodem dotyku na dva úseky dlouhé 4 cm a 9 cm. Určete obsah lichoběžníku.

Řešení

Řešení si můžete prohlédnout po otevření souboru: 201r.pdf (110 kB; pro prohlížení použijte např. Acrobat Reader)