21. ročník, 2. série:
O Honzovi

Minule jsme zanechali našeho hrdinu na začátku jeho velké dobrodružné výpravy. Nyní už je Honza půl dne na cestě za krásnou princeznou Zlatovláskou. Když opouštěl svůj domeček, kocoura Mňoukala nechal doma s jediným úkolem: chytit myš Antoinettu, která se jim usadila přímo v kuchyni.

Úloha 1

Kuchyně má tvar rovnoramenného lichběžníku, jehož všechny úhly mají větší velikost než 60°. Delší základna lichoběžníku má velikost a metrů, kratší základna c metrů, výška lichoběžníku v metrů. Honza postavil Mňoukala do kuchyně. Mňoukal byl nesmírně líný kocour, který raději několik hodin počítal, než by – jen to ne – udělal o jediný rychlý krok navíc! Takže si sedl nad plán myších děr, o kterých věděl, že jsou v každém rohu kuchyně jedna, a začal počítat, aby našel místo, ze kterého je ke každé díře stejně daleko. Najděte, kde přesně je místo, ze kterého má Mňoukal ke každé myší díře stejně daleko. V jaké je to vzdálenosti od středu delší podstavy lichoběžníku?

Myš Antoinetta byla zvědavá, co tam Mňoukal tak dlouho dělá, přišla za ním, sedla si k němu a s výpočtem mu pomohla. Pak tam spolu seděli celou dobu, než se Honza vrátil ze své hrdinské výpravy, a dávali si různé hádanky a příklady. Bylo jich moc, už si skoro žádné nepamatuji, jen jedna úloha mi utkvěla v paměti, protože měla krátké a jednoduché zadání.

Úloha 2

Je dán trojúhelník ABC (│AB│ = 5 cm, │BC│ = 6 cm, │AC│ = 7 cm). Přímka CD je rovnoběžná s přímkou AB. Doplňte bod E tak, aby │AE│ = │CE│ = 6 cm (E leží v polorovině opačné k polorovině ACB). o je osa úsečky CE. Na ose o ve vzdálenosti 5 cm od C leží bod P (P leží v polorovině opačné k polorovině CEA). Bodem P veďte rovnoběžku p s přímkou CD. Zjistěte, v jaké vzdálenosti od A protíná přímka AB přímku p.

Honza šel a šel, až potkal kouzelnou babičku. Jak už to v pohádkách bývá, Honza babičku slušně pozdravil a babička mu slíbila, že mu pomůže, když jí splní tři přání. Nebo to mělo být jinak? No, to už je jedno, každopádně zadala Honzovi tři úlohy. Pokud je správně spočítá, dostane kouzelný meč, kterým může zabít draka.

Úloha 3

Dokaž, že jestliže , pak (b ≠ 0, d ≠ 0, c ≠ - d, bd ≠ ac)

Úloha 4

Kolika způsoby můžeme postavit na šachovnici dvě figurky – bílou a černou – tak, aby při hře dáma bílá mohla brát černou? (Pozn. Dáma se hraje pouze na černých políčkách.)

Úloha 5

Kolika způsoby můžeme na šachovnici rozmístit dvě figurky – bílou a černou – tak, aby se mohly brát navzájem? (Opět hrajeme pouze na černých políčkách šachovnice.)

Honza úlohy sice vyřešil správně, ale mezitím nabídl babičce buchtu. Babičku rozladilo, že je maková a ne její oblíbená s tvarohem, tak Honzovi přidala ještě jednu úlohu:

Úloha 6

Najdi množinu 6 bodů v rovině tak, že každý z nich leží ve vzdálenosti 1 cm od právě tří dalších bodů této množiny.

Honza vyřešil zdárně i tento zapeklitý problém, od babičky získal krásný meč a vydal se již přímou cestou k jeskyni draka Osmihlavce.

Řešení

Řešení si můžete prohlédnout po otevření souboru: 212r.pdf (38 kB; pro prohlížení použijte např. Acrobat Reader)