23. ročník

23. ročník, 1. série

Úloha 1

Vytvořte číslo 9:

  1. z pěti jedniček; z pěti dvojek; z pěti trojek; z pěti čtyřek; z pěti pětek.
  2. ze čtyř jedniček, ze čtyř dvojek, ze čtyř trojek, ze čtyř čtyřek, ze čtyř pětek.
  3. ze tří jedniček, ze tří dvojek, ze tří trojek, ze tří čtyřek, ze tří pětek.

V každém „vytvoření čísla“ musí být aspoň 2 různé operace (např. sčítání a odčítání). Pokud devítka v nějakém případě vytvořit nelze, zdůvodněte to.
(Pozn.: Výraz musí být složen opravdu jen ze zadaných číslic. Např. výraz 32 – 3 – 3 sice obsahuje 2 různé operace (mocnění a odčítání), není ale složen ze samých trojek – je tam i dvojka.)

6 bodů

Úloha 2

  1. Hexamina jsou útvary složené ze šesti čtverečků takové, že každý čtvereček má společnou s jiným čtverečkem alespoň jednu stranu. Kolik existuje různých hexamin? Nakresli je. (Hexamina, která můžeme ztotožnit pouhým otočením nebo překlopením, považujeme za stejná.)
  2. Pentahexy jsou útvary složené z pěti šestiúhelníků takové, že každý šestiúhelník má společnou s jiným šestiúhelníkem alespoň jednu stranu. Kolik existuje různých pentahexů? Nakresli je. (Pentahexy, které můžeme ztotožnit pouhým otočením nebo překlopením, považujeme za stejné.)
  3. Uvažujme útvary složené z krychliček – každá krychlička musí mít společnou alespoň jednu stěnu s jinou krychličkou. Kolik existuje takových útvarů složených ze čtyř krychliček? Nakresli je. (Útvary, které můžeme ztotožnit pouhým otočením nebo souměrností podle roviny, považujeme za stejné.)

6 bodů

Úloha 3

Určete obsah vybarvené části. (Šestiúhelník na obrázku je pravidelný, všechny kružnice mají stejný poloměr a dotýkají se vně.)

Obrazec 3. úloha

6 bodů

Úloha 4

Kolik čísel od 1 do 50 000 neobsahuje ve svém zápisu ani jednu jedničku?

5 bodů

Úloha 5

Třináct shodných kruhů se vně dotýká podle obrázku. Středy šesti vnějších kruhů leží na kružnici. Jaký je poměr poloměr u této kružnice a jednoho ze třinácti kruhů?

Obrazec 5. úloha

5 bodů

PRÉMIOVÝ ÚKOL

Vytvořte svoji vlastní úlohu do Pikomatu na téma „Čtverečkovaný papír“ a pošlete ji spolu s řešením první série. Z vašich nejlepších úloh sestavíme třetí sérii. Ti z vás, jejichž úlohy budou vybrány, mají samozřejmě ze svojí úlohy jistý maximální počet bodů, a samozřejmě budou zveřejněni jako autoři úlohy.

Vytvořená úloha musí být přiměřeně obtížná – tedy nesmí být příliš jednoduchá – to by ji pak vyřešili všichni, ale nesmí obsahovat oblasti matematiky, které se běžně neprobírají na základní škole.

Důležité je, aby úloha byla tvoje vlastní, úlohy, které najdeme v nějaké učebnici nebo knížce, okamžitě vyloučíme.

Vytvořenou úlohu požadujeme v následujícím tvaru:

  1. Zadání úlohy – v takovém tvaru, abychom jej mohli přesně použít do třetí série.
  2. Řešení úlohy
  3. Krátké pojednání zmiňující následující body (není nutné žádné slohové cvičení, stačí krátké vyjádření):
    1. Jak tě napadlo konkrétní téma tvojí úlohy? Jak dlouho jsi jej vymýšlel?
    2. Kolik práce ti vytvoření úlohy dalo?
    3. Vymyslel(a) jsi svoji úlohu rovnou, nebo jsi dělal(a) hodně úprav?
    4. Jak probíhala práce na tvorbě úlohy?
    5. Bavila tě práce na vytváření vlastní úlohy?

Odpovědi na tyto otázky v žádném případě nebudou mít vliv na to, jestli tvojí úlohu zveřejníme, nebo ne. Tento dotazník je součástí výzkumu týkajícího se procesu tvorby úloh, proto ti budeme vděční za pravdivé odpovědi.

Na vaše příspěvky se moc těšíme!

Řešení

Řešení si můžete prohlédnout po otevření souboru: 231r.pdf (157 kB; pro prohlížení použijte např. Acrobat Reader)

Podporujeme:

Pikomat na TOPlistu