23. ročník, 2. série

Jistě všichni znáte tuto kytičku. (Všechny oblouky na obrázku mají stejný poloměr jako kružnice celý tvar ohraničující, všechny oblouky mají na této kružnici střed.) Jakou část plochy kruhu vybarvená kytička tvoří?

6 bodů

Očíslujte stěny a vrcholy pravidelného čtyřstěnu přirozenými čísly od 1 do 8 tak, aby na každé stěně byl aritmetický průměr čísel, která jsou ve vrcholech této stěny. (Čísla se neopakují, každé přirozené číslo od jedničky do osmičky je buď na vrcholu, nebo na stěně.)

7 bodů

Dva shodné pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky jsou umístěny přes sebe tak, jak ukazuje obrázek. (Základny rovnoramenných trojúhelníků jsou rovnoběžné, přímka spojující hlavní vrcholy těchto rovnoramenných trojúhelníků je k základnám kolmá.) Délka ramene pravoúhlého trojúhelníka je 4 cm. Spočítejte obvod a obsah průniku těchto trojúhelníků, víme-li dále, že
a) vzdálenost bodů A a B je 1 cm
b) vzdálenost bodů A a C je 6 cm.

8 bodů

Kolika způsoby můžeme rozmístit 7 osob ke stolu podle obrázku? Rozmístění považujeme za shodná, pokud vzniklé situace budou přímo nebo nepřímo shodná rozmístění.

5 bodů

Vynásobíme dva zlomky, které jsou oba v základním tvaru (tedy není možné je krátit), tak, že vynásobíme čitatele a dělíme je součinem jmenovatelů. Vyjde nám tímto způsobem vždy zlomek v základním tvaru?

4 body

Vzhledem k situaci, kterou jsme neočekávali, a to, že většinu z Vás Prémiový úkol nezaujme, jsme nuceni přistoupit ke kroku nepříjemnému pro Vás i pro nás, a to zadat jej jako povinnou úlohu. Ta bude hodnocena pouze stylem: „Dodal(a) úlohu (bez ohledu na to, zda ji uveřejníme, nebo ne)“ – 5 bodů; „Nedodal(a) úlohu“ – 0 bodů. Ti, kteří úlohu poslali již s minulou sérií, mohou poslat úlohu ještě jednu – budeme rádi, ale 5 bodů už mají jistých teď. Protože však zadání série zpracováváme vždy dříve, než je termín odeslání řešení úloh, je potřeba Vaši úlohu odeslat nejpozději 20. 1. 2010. Při jejím tvoření si uvědomte, že řešit ji budou Vaši vrstevníci (a vlastně protihráči), proto by neměla být příliš snadná. Budeme se moc těšit na Vaše příspěvky.

Zadání úkolu, který původně měl být pouze prémiový :-):

Vytvořte svoji vlastní úlohu do Pikomatu na téma „Čtverečkovaný papír“. Z vašich nejlepších úloh sestavíme třetí sérii. Ti z vás, jejichž úlohy budou vybrány, mají samozřejmě ze svojí úlohy jistý maximální počet bodů, a samozřejmě budou zveřejněni jako autoři úlohy.

Vytvořená úloha musí být přiměřeně obtížná – tedy nesmí být příliš jednoduchá – to by ji pak vyřešili všichni, ale nesmí obsahovat oblasti matematiky, které se běžně neprobírají na základní škole.

Důležité je, aby úloha byla tvoje vlastní, úlohy, které najdeme v nějaké učebnici nebo knížce, okamžitě vyloučíme.

Vytvořenou úlohu požadujeme v následujícím tvaru:

1. Zadání úlohy – v takovém tvaru, abychom jej mohli přesně použít do třetí série.
2. Řešení úlohy
3. Krátké pojednání zmiňující následující body (není nutné žádné slohové cvičení, stačí krátké vyjádření):
   1. Jak tě napadlo konkrétní téma tvojí úlohy? Jak dlouho jsi jej vymýšlel?
   2. Kolik práce ti vytvoření úlohy dalo?
   3. Vymyslel(a) jsi svoji úlohu rovnou, nebo jsi dělal(a) hodně úprav?
   4. Jak probíhala práce na tvorbě úlohy?
   5. Bavila tě práce na vytváření vlastní úlohy?

5 bodů