23. ročník, 3. série

Na čtvercové síti jsou dva mřížové body m čtverečků od sebe vodorovně a n čtverečků svisle. Jaká může být délka trasy po čtvercové síti mezi těmito body? (Najděte obecný předpis pro všechna řešení.)

Daria Zaychenko, 5 bodů

Máme rybářskou síť o rozměrech 220 x 50 čtverečků. Síť je svázána tak, že v každém vrcholu čtverečku je pevný uzel. Kolik nejvýše provázků tvořících strany čtverečků můžeme přestříhnout, aby se nám síť stále ještě nerozpadla na dva kusy?

Jaroslav Zhouf (organizátor), 7 bodů

Máme figurku umístěnou na čtverečkovaném papíře. Figurka se pohybuje vždy jen o jedno políčko, a to po řádku, nebo po sloupci.

1. Zjisti, na která políčka se může dostat v šestém tahu, a kolik jich je, když víme, že výchozí políčko ubírá dva tahy místo jednoho.
2. Porovnej počet políček, na která může přejít první figurka z předešlé otázky a., s počtem políček, na která může přejít druhá figurka, která má na začátku tahů jen pět, jestliže pravidlo o výchozím políčku platí pro obě figurky.
3. Porovnej počet políček, na která nedosáhne šesti tahy první figurka s počtem políček, na která nedosáhne pěti tahy druhá figurka, jestliže se pohybujeme na čtverci o rozměrech 13 x 13 čtverečků a figurka na začátku stojí na průsečíku úhlopříček tohoto čtverce.

Daniel Jančařík, 6 bodů

Kolik různých obsahů obdélníků, které mají délky stran v poměru 3 : 2, lze nakreslit na čtverečkovaný papír A5 (210 mm x 150 mm)? Délky stran musejí být celé násobky délky strany čtverečku, tj. 5 mm.

Iveta Rákosníková, 4 body

Pracujme s takovými útvary, které mají vrcholy pouze v mřížových bodech čtvercové sítě. Nakreslete příklad alespoň jednoho takového útvaru, který má obsah 12 čtverečků a který zároveň:

1. nemá osu souměrnosti, ale má střed souměrnosti,
2. má osu souměrnosti, ale nemá střed souměrnosti,
3. má právě jednu osu souměrnosti a má střed souměrnosti,
4. má právě čtyři osy souměrnosti, ale není to čtverec,
5. má střed souměrnosti, který leží vně útvaru.

Eva Patáková (organizátorka), 6 bodů